Rumus dan Pembahasan Peluang, Permutasi, dan Kombinasi Lengkap Contohnya

Rumus dan Pembahasan Peluang, Permutasi, dan Kombinasi Lengkap Contohnya, Berikut akan memberikan penjelasan lengkap dari Rumus dan Pembahasan Peluang, Permutasi, dan Kombinasi Lengkap contohnya serta contoh soal berikut ini.

Dilansir dari laman Studiobelajar.com yang didistributori oleh Alwin Mulyanto, S.T.
Alumni Teknik Sipil FT UI. Melalui laman tersebut. Dengan demikian, simak beriktu materi lengkapnya.

Rumus dan Pembahasan Peluang, Permutasi, dan Kombinasi Lengkap Contohnya

Kaidah pencacahan

Ada tiga metode dalam kaidah pencacahan:

Aturan Pengisian Tempat yang Tersedia

Untuk memahami metode ini, kita dapat menjabarkannya menggunakan pasangan terurut. Jika suatu kejadian pertama dapat terjadi dalam $n_1$ cara yang berbeda, kejadian kedua dapat terjadi dalam cara yang berbeda, dan seterusnya maka kejadian-kejadian itu secara berurutan dapat terjadi:

$n_1 \times n_2 \times n_3$ … cara yang berbeda

Sebagai ilustrasi: misalkan seorang pekerja memiliki 4 buah kemeja dan 2 buah dasi yang masing-masing mempunyai warna yang berbeda. Berapa pasangan warna kemeja dan dasi yang dapat dibuat? Jika himpunan kemeja adalah k = ( $k_1, k_2, k_3, k_4$ ) = 4 buah dan himpunan dasi adalah d = ( $d_1, d_2$ ) = 2 buah. Sehingga dapat ditentukan bahwa:

$n_k \times n_d$ = 4 x 2 = 8 cara

Permutasi

Permutasi adalah susunan berurutan dari semua atau sebagian elemen dari suatu himpunan. Dalam permutasi perlu dipahami terlebih dahulu terkait faktorial. Hasil kali bilangan bulat dari 1 sampai n adalah n! (dibaca : n faktorial) atau :

$n! = n \times (n - 1) \times (n - 2) \times \cdots \times 2 \times 1$

Contoh, $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$ . Untuk menyelesaikan soal permutasi terdapat 4 metode yaitu:

- Iklan -

1. Permutasi dari elemen yang berbeda

Permutasi elemen dari elemen yang ada (setiap elemen berbeda) adalah susunan elemen itu dalam suatu urutan yang diperhatikan. Jika , ( $r > n$ ) permutasinya: $_nP_r = \frac{n!}{(n - r)!}$ .

Sehingga jika $n = r$ , permutasinya: $_nP_r = n!$ .

Sebagai ilustrasi: menyususn 3 elemen dari 3 huruf : a,b,c adalah a,b,c a,c,b b,c,a b,a,c c,a,b c,b,a dengan $_3P_3 = 3! = 6$ . Sedangkan menyusun 2 elemen dari 3 huruf adalah dengan . $_3P_2 = \frac{3!}{(3 - 2)!} = 3! = 6$ .

2. Permutasi dengan Beberapa elemen yang sama

Setiap unsur yang digunakan tidak boleh lebih dari satu kali. Banyak permutasi elemen n yang memuat elemen $n_1, n_2, n_3 \cdots, n_r,$ , dengan $n_1 + n_2 + n_3, \cdots n_r \le$ adalah:

$_nP(n_1,n_2,n_3, \cdots, n_r) = \frac{n!}{n_1!,n_2!,\cdots,n_r!}$

Sebagai ilustrasi: ada 3 bola basket dan 2 bola kasti. Jumlah cara menyusunnya:

$p = \frac{n!}{n_1!,n_2!,\cdots,n_r!} = \frac{6!}{3! 2!} = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3!}{3! \times (2 \times 1)} = 60$ .

3. Permutasi siklis

Rumus permutasi siklis biasanya digunakan untuk menghitung banyak cara yang dapat dibuat dari susunan melingkar. Rumusnya adalah

$P_(siklis) = (n - 1)!$

Sebagai ilustrasi: banyaknya cara 4 orang duduk melingkar dalam 1 meja adalah

$P = (4 - 1)! = 3 \times 2 \times 1 = 6$

4. Permutasi berulang

Permutasi berulang adalah permutasi yang dalam penyusunannya urutan diperhatikan dan suatu objek dapat dipilih lebih dari sekali (berulang). Banyaknya permutasi ini adalah

$P_(berulang) = n^r$

Sedangkan untuk rumus permutasi yang tidak boleh ditulis berulang adalah

$P_(tidak berulang)= \frac{n!}{(n - r)!}$

Kombinasi

Kombinasi adalah pengelompokan dari semua atau sebagian elemen dari suatu himpunan tanpa memperhatikan urutan susunan pemilihannya. Banyaknya kombinasi adalah :

$_nC_r = \frac{n!}{r!(n - r)!}$

Sebagai ilustrasi : kombinasi 2 elemen dari 3 huruf a,b,c adalah ab, ac, bc . Sedangkan ba, ca, cb tidak termasuk hitungan karena pada kombinasi ab=ba, ac=ca, bc=cb. Banyak kombinasi adalah :

$_3C_2 = \frac{3!}{2! (3 - 2)!} = \frac{3!}{2!} = \frac{3 \times 2 \times 1}{2 \times 1} = 3$

Binom Newton

Binom Newton berhubungan dengan bentuk $(a + b)^2$ . Dimana suku ke-r dari bentuk tersebut adalah :

Suku ke – r = $_nC_{r-1} \times a^{n-r+1} \times b^{r-1}$

Sebagai ilustrasi: koefisien $x^{27}$ dari $(x^2 + 2x)^{15}$ adalah:

$_nC_{r - 1} x a^{n - r + 1} x b^{r - 1} = _{15}C_{r - 1} x (x^2)^{15 - r + 1} x (2x)^{r - 1}$

$= _{15}C_{r - 1} x (x^{30 - 2r + 2}) x (2x)^{r - 1}$

Agar x berpangkat 27 dibuat:

$27 = (30 - 2r - 2) +(r - 1)\overset{maka}{\rightarrow}r = 4$

Sehingga:

suku ke – 4 = $_{15}C_{r - 1} x (x^{30 - 2r + 2}) x (2x)^{r - 1} = _{15}C_3 x (x^{30 -8 +2}) x (2x)^{4 - 1}$ .
$_{15}C_3 . x^{24}8x^3 = _{15}C_3 . 8x^{27} = \frac{15!}{12!3!}8x^{27} = 3640x^{27}$ .
Koefisiennya: 3640

Rumus dan Pembahasan Peluang, Permutasi, dan Kombinasi Lengkap Contohnya

Rumus dan Pembahasan Peluang, Permutasi, dan Kombinasi Lengkap Contohnya

Aturan Pengisian Tempat yang Tersedia

Permutasi

1. Permutasi dari elemen yang berbeda

2. Permutasi dengan Beberapa elemen yang sama

3. Permutasi siklis

4. Permutasi berulang

Kombinasi

Binom Newton

BERITA TERKAIT

REKOMENDASI

BERITA TERBARU